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如图,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,E是AC的中点,ED的延长线与CB的延长线交于点F.

2018-11-20

题目:

如图,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,E是AC的中点,ED的延长线与CB的延长线交于点F.

(1)求证:FD2=FB•FC;
(2)若G是BC的中点,连接GD,GD与EF垂直吗?并说明理由.

解答:

(1)证明:∵E是Rt△ACD斜边中点,
∴DE=EA,
∴∠A=∠2,(1分)
∵∠1=∠2,
∴∠1=∠A,(2分)
∵∠FDC=∠CDB+∠1=90°+∠1,∠FBD=∠ACB+∠A=90°+∠A,
∴∠FDC=∠FBD,
∵∠F是公共角,
∴△FBD∽△FDC.(4分)

FB
FD=
FD
FC.
∴FD2=FB•FC.(6分)
(2)GD⊥EF.(7分)
理由如下:
∵DG是Rt△CDB斜边上的中线,
∴DG=GC.
∴∠3=∠4.
由(1)得∵△FBD∽△FDC,
∴∠4=∠1,
∴∠3=∠1.(9分)
∵∠3+∠5=90°,
∴∠5+∠1=90°.
∴DG⊥EF.(10分)

试题解析:

(1)要求证:FD2=FB•FC,只要证明△FBD∽△FDC,从而转化为证明∠FDC=∠FBD;
(2)要证DG⊥EF,只要证明∠5+∠1=90°,转化为证明∴∠3=∠4即可.

名师点评:

本题考点: 相似三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线.
考点点评: 证明线段的积相等可以转化为证明三角形相似,证明两直线垂直转化为证明形成的角是直角.


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