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已知:如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D是△ABC内的一点,且AD=AC,若∠DAC=3

2018-09-22

题目:

已知:如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D是△ABC内的一点,且AD=AC,若∠DAC=30°,试探究BD与CD的数量关系并加以证明.

解答:

BD=CD.
证明:作BE⊥BC,AE⊥AC,两线相交于点E,
∵△ABC是等腰直角三角形,即AC=BC,
∴四边形AEBC是正方形,
∵∠DAC=30°,
∴∠DAE=60°,
∵AD=AC,
∴AD=AE,
∴△AED是等边三角形,
∴∠AED=60°,
∴∠DEB=30°,
在△ADC和△EDB中,

AD=ED
∠DAC=∠DEB=30°
AC=BE
∴△ADC≌△EDB(SAS),
∴BD=CD.

试题解析:

作BE⊥BC,AE⊥AC,两线相交于点E,则四边形AEBC是正方形,由∠DAC=30°,得∠DAE=60°,由AD=AC,得AD=AE,所以,三角形AED是等边三角形,可得∠AED=60°,∠DEB=30°,
所以,△ADC≌△EDB,可得BD=CD;

名师点评:

本题考点: ["正方形的性质","全等三角形的判定与性质","等腰三角形的性质"]
考点点评: 本题主要考查了等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质,作辅助线构建正方形,通过证明三角形全等得出线段相等,是解答本题的基本思路.


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