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用塞瓦定理的逆定理帮我证明一个问题

2018-10-24

题目:

用塞瓦定理的逆定理帮我证明一个问题
证明三角形三高线所在直线交于一点,谢拉

解答:

塞瓦定理的逆定理:
在△ABC的边BC,CA,AB上分别取点D,E,F,如果
(AF/BF) (BD/CD) (CE/AE)=1
那么直线AD,BE,CF相交于同一点
当△ABC是锐角三角形时,D,E,F分别在BC,CA,AB上,BD=ABcosB,DC=ACcosC,CE=BCcosc,EA=ABcosA,AF=bACcosA,FB=BCcosB
则(AF/BF) (BD/CD) (CE/AE)=1
因此三条高线AD,BE,CF相交于同一点
当△ABC是钝角三角形(A为钝角)时,有BD=ABcosB,DC=ACcosC,CE=BCcosC,
EA=ABcos(180°-A)=-ABcosA,AF=ACcos(180°-A)=-ACcosA,FB=BCcosB,
则(AF/BF) (BD/CD) (CE/AE)=1也成立
因此三条高线AD,BE,CF相交于同一点
当△ABC是直角三角形(A为直角)三条高线显然都经过A点


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