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已知函数f(x)=log以2为底(x+1),将y=f(x)的图像向左平移一个单位,在将图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2

2018-09-22

题目:

已知函数f(x)=log以2为底(x+1),将y=f(x)的图像向左平移一个单位,在将图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),得到函数y=g(x)的图像.
(1)求y=g(x)的解析式及定义域;
(2)求函数F(x)=f(x)-g(x)的最大值.

解答:

(1)g(x)=2log2(x+2) 定义域x>-2
(2) F(x)=log2(x+1)-2log2(x+2)=log2(x+1)-log2(x+2)^2
=log2(x+1)/(x+2)^2=log2(x+1)/(x^2+4x+4)
=log2(x+1)/[(x+1)^2+2(x+1)+1]
=log2 1/[(x+1)+1/(x+1)+2]
≤log2 1/(2√(x+1)*1/(x+1)+2)
=log2 1/(4)
=-2
所以最大是-2


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